Геометрия. Как вычислять площади трапеций по рисункам 14, 15, 16?

Площадь трапеции — это одна из основных геометрических фигур, для которой существует конкретная и простая формула. Однако, в зависимости от того, какие элементы даны на рисунке, могут быть вариации в способах вычисления площади трапеции. Рассмотрим, как можно вычислять площадь трапеций на рисунках 14, 15, 16, в зависимости от разных условий.

Формула для площади трапеции

Для того чтобы вычислить площадь трапеции, достаточно знать ее основания и высоту. Общая формула площади трапеции:

S=(a+b)⋅h2S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}S=2(a+b)⋅h​

где:

• $a$ — длина одного основания трапеции,
• $b$ — длина другого основания,
• $h$ — высота трапеции (перпендикулярное расстояние между основаниями).

В некоторых случаях на рисунках может быть предложено дополнительно вычислять площадь трапеции, если даны другие геометрические элементы, такие как углы, стороны или диагонали. Рассмотрим, какие особенности могут встречаться на рисунках 14, 15, 16, чтобы определить, какой способ вычисления лучше применить.

Когда даны только основания и высота

Если на рисунке изображена трапеция с известными длинами оснований и высотой, то просто подставляем эти данные в формулу. Например, если одно основание $a=8$, другое основание $b=12$, а высота $h=6$, то площадь будет вычисляться как:

S=(8+12)⋅62=20⋅62=60 кв. ед.S = \frac{(8 + 12) \cdot 6}{2} = \frac{20 \cdot 6}{2} = 60 \, \text{кв. ед.}S=2(8+12)⋅6​=220⋅6​=60кв. ед.

Когда даны боковые стороны и угол между ними

Если на рисунке указаны боковые стороны трапеции и угол между ними, можно воспользоваться другим методом. В таких случаях для вычисления площади трапеции применяется формула через стороны и угол. Рассмотрим, как можно вычислить площадь в таких ситуациях.

1. Определим высоту трапеции, используя треугольники, образующиеся боковыми сторонами и основанием.
2. После этого вычислим площадь трапеции с помощью стандартной формулы, если известны основания и высота.

Когда трапеция изображена с диагоналями

Если на рисунке изображены диагонали трапеции, то можно вычислить площадь трапеции через площадь четырёхугольника, воспользовавшись формулой через длины диагоналей и угол между ними. Такая ситуация встречается реже, но теоретически площадь можно вычислить и через угол между диагоналями:

S=12⋅d1⋅d2⋅sin⁡(α)S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 \cdot \sin(\alpha)S=21​⋅d1​⋅d2​⋅sin(α)

где:

• d1d_1d1​ и d2d_2d2​ — длины диагоналей,
• $\alpha$ — угол между диагоналями.

Этот метод часто используется в случаях, когда трапеция имеет сложную форму, и другие способы вычисления площади не дают нужного результата.

Когда одна из сторон трапеции является высотой

В случае, когда одна из боковых сторон трапеции является высотой, площадь можно вычислить через формулу, которая объединяет её длину с другой стороной и основанием. Такие случаи могут встретиться на рисунках, где одна из сторон прямой трапеции перпендикулярна основанию, что значительно упрощает вычисления.

Примеры вычисления площади трапеции

Предположим, на рисунке 14 изображена трапеция с основаниями длиной 10 и 15 единиц, и высотой 4 единицы. Для вычисления площади используем стандартную формулу:

S=(10+15)⋅42=25⋅42=50 кв. ед.S = \frac{(10 + 15) \cdot 4}{2} = \frac{25 \cdot 4}{2} = 50 \, \text{кв. ед.}S=2(10+15)⋅4​=225⋅4​=50кв. ед.

Теперь, если на рисунке 15 дана трапеция, у которой основание одно — 8 единиц, а другая сторона наклонена и образует угол 30° с основанием, при этом высота этой трапеции равна 6 единиц, то можно использовать стандартную формулу площади. Однако если необходимы дополнительные вычисления с углами или другими сторонами, мы применяем соответствующие методы для вычислений.