Как найти трёхзначное число, сумма квадратов цифр которого делится на 5, но не делится на 25?

Для того чтобы найти трёхзначное число, сумма квадратов цифр которого делится на 5, но не делится на 25, нужно следовать пошаговому процессу. Рассмотрим все этапы.

Шаг 1: Обозначим трёхзначное число

Трёхзначное число можно записать в виде:

$$N=100a+10b+c$$

где $a$, $b$ и $c$ — цифры числа, при этом a≠0a \neq 0a=0, так как это трёхзначное число.

Шаг 2: Условие делимости суммы квадратов цифр на 5

Нам нужно, чтобы сумма квадратов цифр числа делилась на 5. То есть, сумма:

S=a2+b2+c2S = a^2 + b^2 + c^2S=a2+b2+c2

должна быть кратна 5. Для этого $S\mathrm{mod}5=0$.

Шаг 3: Условие, что сумма не делится на 25

Нам также нужно, чтобы сумма квадратов цифр числа не делилась на 25. То есть:

Smod  25≠0S \mod 25 \neq 0Smod25=0

Шаг 4: Рассмотрение возможных значений квадратов цифр по модулю 5

Для начала вычислим возможные значения квадратов цифр $a$, $b$ и $c$ по модулю 5. Квадраты цифр от 0 до 9 выглядят следующим образом:

• 02=0mod  50^2 = 0 \mod 502=0mod5
• 12=1mod  51^2 = 1 \mod 512=1mod5
• 22=4mod  52^2 = 4 \mod 522=4mod5
• 32=9≡4mod  53^2 = 9 \equiv 4 \mod 532=9≡4mod5
• 42=16≡1mod  54^2 = 16 \equiv 1 \mod 542=16≡1mod5
• 52=25≡0mod  55^2 = 25 \equiv 0 \mod 552=25≡0mod5
• 62=36≡1mod  56^2 = 36 \equiv 1 \mod 562=36≡1mod5
• 72=49≡4mod  57^2 = 49 \equiv 4 \mod 572=49≡4mod5
• 82=64≡4mod  58^2 = 64 \equiv 4 \mod 582=64≡4mod5
• 92=81≡1mod  59^2 = 81 \equiv 1 \mod 592=81≡1mod5

Таким образом, возможные значения квадратов цифр по модулю 5 — это 0, 1 и 4.

Шаг 5: Анализ делимости суммы на 5

Нам нужно, чтобы сумма квадратов цифр S=a2+b2+c2S = a^2 + b^2 + c^2S=a2+b2+c2 была кратна 5, т.е. $S\equiv 0\mathrm{mod}5$. Это можно сделать, проверяя возможные комбинации значений a2a^2a2, b2b^2b2 и c2c^2c2 по модулю 5. Для каждого из этих значений мы можем подбирать такие $a$, $b$ и $c$, чтобы их квадраты в сумме давали 0 по модулю 5.

Шаг 6: Условие, что сумма не делится на 25

Чтобы сумма не делилась на 25, мы должны исключить те комбинации значений квадратов, которые приводят к делимости суммы на 25. Это дополнительно накладывает ограничения на выбор цифр.

Шаг 7: Пример

Пример трёхзначного числа, которое удовлетворяет обоим условиям:

Пусть $a=1$, $b=4$, $c=0$. Тогда:

S=12+42+02=1+16+0=17S = 1^2 + 4^2 + 0^2 = 1 + 16 + 0 = 17S=12+42+02=1+16+0=17

Теперь проверим условия:

1. $S=17$ делится на 5: $17\mathrm{mod}5=0$
2. $S=17$ не делится на 25: 17mod  25≠017 \mod 25 \neq 017mod25=0

Таким образом, $N=140$ — это трёхзначное число, которое удовлетворяет обоим условиям.