Как решить задачу: Игрок бросает игральную кость до тех пор, пока не выпадет (см)?

Задача, в которой игрок бросает игральную кость до тех пор, пока не выпадет определенная цифра (например, см), относится к категории задач на вероятности. Это задача, в которой важно рассчитать количество бросков, необходимых для того, чтобы на одном из них выпала конкретная цифра, и вероятность такого события. Чтобы решить такую задачу, нужно:

1. Формулировка задачи

Игрок бросает стандартную игральную кость (с 6 гранями) до тех пор, пока на одном из бросков не выпадет определенная цифра, например, число см. Задача предполагает анализ вероятности получения нужной цифры на каком-либо броске и вычисление ожидаемого количества бросков до того момента, как выпадет искомое число.

2. Понимание задачи

На стандартной игральной кости есть шесть граней, каждая из которых с равной вероятностью может выпасть. Если игрок ищет число см (например, «1», «3» или «5»), вероятность того, что это число выпадет при одном броске, составляет 1 из 6, или 16\frac{1}{6}61​.

3. Математическое представление задачи

Если в задаче речь идет о случайной переменной, которая представляет собой количество бросков до появления определенного числа, то это задача на расчет математического ожидания числа бросков.

Предположим, что игрок бросает игральную кость до тех пор, пока не выпадет нужное число. Это можно рассматривать как задачу с геометрическим распределением, где вероятность успеха (выпадение нужного числа) на каждом броске составляет 16\frac{1}{6}61​, а вероятность неудачи (когда число не выпало) — 56\frac{5}{6}65​.

Математическое ожидание (среднее количество бросков до первого успеха) в задаче с геометрическим распределением рассчитывается по формуле:

E(X)=1pE(X) = \frac{1}{p}E(X)=p1​

где $E(X)$ — математическое ожидание (среднее количество бросков), а $p$ — вероятность успеха на одном броске.

В нашем случае вероятность успеха $p$ равна 16\frac{1}{6}61​, так как искомое число имеет шанс выпасть с вероятностью 1 к 6. Следовательно, математическое ожидание количества бросков будет:

E(X)=116=6E(X) = \frac{1}{\frac{1}{6}} = 6E(X)=61​1​=6

Это означает, что в среднем игроку потребуется 6 бросков, чтобы на одном из них выпало нужное число.

4. Решение задачи с учётом других вариантов

Если задача сформулирована так, что нужно рассчитать вероятность того, что искомое число выпадет на $k$-м броске, можно использовать вероятность для геометрического распределения. Вероятность того, что нужное число выпадет на $k$-м броске (и не выпадет до этого) вычисляется по формуле:

P(X=k)=(1−p)k−1⋅pP(X = k) = (1 — p)^{k-1} \cdot pP(X=k)=(1−p)k−1⋅p

где:

• $P(X=k)$ — вероятность того, что нужное число выпадет именно на $k$-м броске,
• p=16p = \frac{1}{6}p=61​ — вероятность успеха на каждом броске.

Например, для того чтобы нужное число выпало на третьем броске, вероятность будет:

P(X=3)=(56)2⋅16P(X = 3) = \left(\frac{5}{6}\right)^{2} \cdot \frac{1}{6}P(X=3)=(65​)2⋅61​

5. Заключение

Задача на вероятность получения числа при бросках игральной кости является примером задачи с геометрическим распределением. Для ее решения необходимо использовать формулы для математического ожидания и вероятности успеха. В этом случае математическое ожидание (среднее количество бросков до появления нужного числа) составляет 6, что означает, что в среднем игроку потребуется 6 бросков, чтобы на одном из них выпало нужное число.